S②　補足と要点と別解

第１講

要点チェック

【1番】

2次方程式の典型問題である解の配置問題

文字係数で係数部分が三角関数になっているだけである。

(1) グラフを描いて、端点、軸、判別式の情報（条件）を調べる。

解と係数の関係を利用した解法も知っておくとよい。

(2) 解を文字でおいて、解と係数の関係を使えるかがポイント

【2番】

三角方程式の解の個数問題。

関数では文字をおきかえると、おきかえた文字の変域に注意する必要がある。

この問題の最大のポイントは、おきかえた文字ともとの文字では解の個数の対応が変わる点である。

慣れるまでは混乱するかもしれませんが、非常に重要な問題なので完璧に理解しておきましょう。

５５テキストや持っている問題集で類題をやっておくとよいと思います。

【3番】

(1) 三角関数のグラフを描くときは周期が重要。スムーズに描けるようにしておきましょう。

(2) (1)のグラフを使えるかがポイント。

ちなみに、グラフを使わない方法は、合成後の角の変域を求めて、sin(正弦)のとりうる範囲を考える。

(3)　数学的に言い換えて、どう扱えば良いかを考える問題。

「共有点がある ⇔ 方程式に解がある」ということ。

文字をおきかえても、おきかえた後の文字の変域の中で方程式の解が存在すれば、もとの文字の方程式でも解が存在する。

第２講

【４番】

与式は、sinθ, cosθの2次同次式なので、半角の公式で次数下げをして合成ができる（半角合成）。

合成するときにsinθ, cosθの係数がともに0のときは合成ができないので、別で調べておく必要がある。

後半に、対称式の連立方程式が出てくるので、a+b , abの値を求めてから、a , bを2解にもつ２次方程式を立てて、a , bを求めるのがよい。

【5番】

(2)のt=2sin(θ+π/3)とsin3θの角度の関係のずれの調整をsin(π＋θ)＝-sinθを利用して処理できるかがポイント。

sin3θを tで表すこの問題は発想的にも難しいので、何回もやっておきましょう。何回も何回も...

【6番】

背景はcos(π/5) cos(2π/5)などの有名角でない三角関数の値。

このテーマを知らなくても解けるような誘導になっている。

「θ=π/5 ⇔ 5θ=π ⇔ 3θ＝π-2θ」や「θ=2π/5 ⇔ 5θ=2π ⇔ 3θ＝2π-2θ」の式変形後に、「cos3θ=cos(π-2θ) ⇔ cos3θ=-cos2θ」や 「cos3θ=cos(2π-2θ) ⇔ cos3θ=cos2θ」として、3倍角の公式と2倍角の公式を利用して、cosθを求める定番問題は経験して覚えておくとよい。

このテーマは１学期にもやっています。

第３講

【７番】

(1)　条件式が累乗の形（指数形）a^xやb^xのようになっている場合、「対数の定義」or「両辺に対数をとる」を用いて、x=～ , y=～の形を作ると使いやすくなる。

(2)　log_2(z)=ｔとおくと、「zの方程式が正の実数解をもつ」⇔ 「tの方程式が実数解をもつ」⇔ 「D≧0」と言い換えて、b,cが満たす関係式を得ることができる。このとき、c/bの値の範囲を求めるのに、log_2(c/b)の範囲を経由して求めるところが最大の難所である。

【８番】

式変形する途中の分母のlog_3(x)の処理がポイント。

log_3(x)の値は、正も負も取りうる（全実数を取りうる）ので、不等式では掛けたり割ったりするときに、正と負で場合分けが生じる。

log_3(x)の２乗を両辺に掛けて場合分けをさける方法もある。

因数分解したときに、場合分けの条件などを使うと３次不等式を１次or２次の不等式などに同値変形できることがある。

今後は因数分解したときに、文字の条件を使って、因数の中に符号（プラスとマイナス）が定まるものないか確認しましょう。

【９番】

ある数の桁数や最高数の数は、１０進法なら、その数を10^pの形にすることで、pの整数部分で桁数が求まり、小数部分で最高位の数が求まる。m進法なら、その数をm^pの形にするとよい。

第４講

【10番】

(1)　「f(x)が極値をもつ」⇔ 「f'(x)の符号変化が起こる」がポイント。

f(x)が３次関数の場合は、その導関数f'(x)が２次関数なので符号変化が起こる条件は、y=f'(x)のグラフがx軸と２交点をもつこと。

(3)　極値の和 f(α)＋f(β)はα , βの対称式なので、その値はα+βとαβの値で計算する。

次数下げする方法も身に着けておくとよい。

【11番】

(2)　f(x)=mは、y=f(x)とy=mを連立したものとみるとよい。

３次関数と接線は連立してyを消去すると、(x-α)^2(x-β)の形になる。

(3)　(2)で求めたx座標を上手く使えるかがポイント。

定義域の左端 -1の位置を決めれば、グラフの対称性から右端の１の位置も定まる。

-1≦x≦1を動かすイメージでどこで最大値が切り替わるかをしっかり考えよう。

【12番】

微分の定番問題。

３次関数では、（接線の本数）＝（接点の個数）が成り立つ。

接点を設定し、通る点(a , b)を代入すれば、結果的に、３次方程式の実数解の個数問題になるので、あとはどう処理するかを考えればよい。

通る点が(1 , a)とかなら、定数分離できるが、この問題では定数分離ができないので極大値と極小値の符号を利用する。

第５講

【13番】

(1)は普通に解いてもいいですが、関数の差f(x)-g(x)を共有点のx座標を用いて因数分解すると、恒等式の係数比較法で未知数を求める条件式が得られる。

(2)は△ABPの面積の式を立式するのもありですが、結局はABを底辺とすると高さで面積が決まるので、高さが最大になることを考える。

Pの座標を設定し、高さを関数で表してもいいですが、図形的にどういうときに高さが最大になるのかを考えましょう。

確か、2022年度の共通テストのIAの図形はこの考え方で解く問題でした。

【14番】

まず、体積を立式するために底面の円の半径rと直円錐の高さhを設定するところからスタート。

あとは、側面積が６πという条件で「rとhの関係式」を得ることができ、その式を用いて、体積を１変数で表す。

このとき、消去する文字の存在条件で、残した文字に隠れた変域があることに注意しましょう。

あとは、体積の式が√の外と中に変数があるので、√の外の変数を√の中に入れるという発想が重要。

【15番】

４次関数の２重接線を求める問題。

13番と同様、4次関数f(x)と求める直線の1次関数g(x)の差f(x)-g(x)を共有点（接点）を用いて因数分解して、

恒等式の係数比較法で未知数を求める条件式を作る。

第６講

【1６番】

絶対値の中に２次式が入っている場合、絶対値の中身のグラフを描き、正負を判断して絶対値をはずします。

被積分関数(積分される関数)に絶対値がついている場合、そのグラフを見ながら積分するとよい。

(1)の誘導は基本的にはつかないと思ってください。普通は(2)からのスタートです。

(3)のオススメの書き方は、関数が定義域によって変わる場合でも、増減表を一つにまとめるのがいいと思います。

【1７番】

定積分で表される関数（積分方程式）の問題。

定積分が「定数型」と「変数型」がありますが、どちらも重要です。

後半の面積を求めるときに「次数下げ」をしましたが、なるべく根性で計算するのを避けて、工夫して計算をする習慣を身につけましょう。

微積分学の基本定理を利用するときは、セットでxに(上端)=(下端)となる値を代入するを行いましょう。

理由は以下です。

微積分学の基本定理を利用するときは、与えられた定積分の式の両辺をxで微分します。

このとき、同値性を保つために微分する前の式のxに適当な値を代入する必要があります。

x の適当な値として、一番都合の良い値は、(上端)=(下端)となる値です。

同値性を保ちながら、未知数が求まったり、欲しい値がゲットできたりするからです。

詳しく理解したい人は、「f'(x)=g'(x) ⇒ f(x)=g(x) は成り立つか」を読んでみてください。

第７講

【1８番】

(2)は、(接線の本数)＝(接点の個数)を利用して、証明します。

関数の接線の問題は、「１．接点を設定して接線の方程式を立式する　２．与えられた通る点を代入して、接点の座標が求まる方程式を作る」という一連の流れは無意識にできるようになりましょう。

(3)は、放物線と直線が接するときの面積は、a∫(x-〇)²ｄｘという形になり、塊のまま積分して代入計算を楽することが重要です。

解と係数の関係で用意したα+β、αβの値は、(β-α)²=(α+β)²-４αβという式変形で利用します。

放物線と２接線で囲まれる面積は、接点のx座標α、βを用いると、a/12(β-α)³という形になることを覚える必要はないですが、今回の問題のように作れるようにはしておきたい。

【1９番】

1/6公式を利用して、面積を立式することがポイント。

本番の試験では、記述の時間があれば、DとEが異なる２点で交わることの証明も入れておくとベター。

【２０番】

(1)のaの取りうる範囲を求める問題は、Cとℓの共有点のx座標を求めてアプローチする方法もありますが、授業で扱った、ℓを(2 , 0)を中心に回して、(2 , 0)以外のもう１点で交わるような傾きの限界を求める図形的な解法も重要です。

数学では、値を動かすとどのようにグラフが動くのか、その様子を考えたり、極端な値で図の状況を考えたりしてみて、実験的なことをすると問題の糸口が見つかったりすることがあります。

第８講

【２１番】

(1)　式を見ただけで、与えられた２つの曲線はともに原点を通ることは気づいて欲しい。

与えられた３次関数は因数分解されているので、まずは、x軸との共有点を利用して、２つのグラフを描いてみるのがよい。

そうすれば、２つのグラフは原点を共有点をもつことが分かり、さらに残り二つの共有点はx>0の部分にあることも分かる。

方針は、２式を連立して、２次方程式の議論へもちこみ、x=0以外に異なる２つの実数解をもつことを示す。

(2)　２つの曲線で囲まれる２つの部分の面積が等しい時、途中でグラフの上下関係が変わるので、等式を作ったあとは、移項して定積分を一つにまとめて計算することができることが最大のポイント。

【２２番】

複利計算の問題。共通テストで既に出題されたが、ちゃんとやっておきましょう。

いきなり一般化するのは難しいので、n=1 , 2 , 3 , …と具体化して、理解していくのがよい。

【２３番】

等差中項、等比中項を利用して、a, b , c の関係式を作る。

等差数列は、単調増加or単調減少のどちらかなので、a , b , c の順番はすぐ分かるが、等比数列はどの順で等比数列をなすのかを把握するのが少し難しい。

授業で少し触れましたが、等比中項を a , b , cのどれにするかで場合分けする解法も悪くないと思います。

こっちの解法の方が楽に感じる人が多いかもしれません。

時間があるときに、こっちの解法もアップしておきたいと思います。

第９講

【２４番】

群数列はまず慣れることが大事です。

各群に何個の数が含まれるか、つまり、k 群に含まれる数の項数（個数）が重要であり、ここが問題によって変わります。

k群に含まれる数の項数が分かれば、Σ計算（or 和の公式）を利用して、n-1群やn群の最後の数が数列全体の第何項目（背番号w）であるかが求まります。

今回の問題は、第 k 群に含まれる数の項数が2^k-1であるところがポイントです。

(3)や(4)の問題は定番の問題なので、しっかり解法を身に付けましょう。

(2)は、その場で考えるような設問なのでいろんな解き方が考えられます。

(3)の設問の群数列の問題の定番「群数列の初項から第〇項までの和」では、「群ごとの和＋残り」で求めるので、第 n 群に含まれる数の和S_nを自分で求める必要があります。

今回の問題は、このS_nは(1)で求めていますが、(1)の誘導はなくても解ける必要があります。

群数列に苦手意識がある人は、何問か演習を行って、しっかり克服しましょう。

【25番】

(2)の数列の和を求めるための誘導付き問題。

(1)は、与えられた一般項a_nが与えられた漸化式を満たすように、定数p , q , rを決定する問題です。

一般項a_nが漸化式の解であると思えば、漸化式に代入すると、その等式は、nについての恒等式であるので、両辺から、3ⁿの形を消去し、両辺の各項の係数を比較することで未定数が決定できる。

(2)は、(1)の漸化式とその一般項を利用して、差の形を作り、パタパタ法で話の計算ができる。

【26番】

格子点の総数を求める問題。

格子点の個数を求めるときは「線ごとに足す」が重要です。

格子点の総数を求める手順は、「x=k上（or y=k上）の格子点の個数を求め、kのとりうる値の範囲に注意し、Σで足し合わせる」です。

(2)のb_nを求める手順をしっかり身に付けましょう。

(3)は、不等式を解こうとしても解けないが、最小のnを求めれば良いので、nに1, 2 ,3, …を代入し、地道に探すことになります。

第１０講

【2７番】

a_nとS_nが混在した漸化式では、a_n=S_n-S_n-1（or a_n+1=S_n+1-S_n）を利用して、{a_n}の漸化式か{S_n}の漸化式を作ります。

今回の問題のように、基本的にS_nを消去して、{a_n}の漸化式にする出題の方が多いです。

(3)は、一般項が分数式で、分母が２次式なので、部分分数分解を利用して差の形を作り、パタパタ法で和を求めます。

(4)の不等式の証明の基本方針は「差をとって正or(0以上)を示す」です。

【2８番】

おきかえを利用する漸化式の問題。

基本形にない漸化式の多くの問題は、おきかえb_n=f(a_n)を利用して、おきかえた数列{b_n}が基本形の漸化式になり、その一般項b_nを求め、一般項a_nを求めるという流れです。

(3)の数列の和S_nの最大値はだいたい、ある自然数kについて、「1≦n≦kのとき、a_n>0、n≧k+1のとき、a_n<0が成り立ち、S_nが最大となるのは、n=kのときである」というシナリオとなっています。

S_nをnの関数で表し、グラフを利用する解法はないとは言い切れませんが、ほぼないと思われるので、最終的な解法として利用しましょう。

【2９番】

連立漸化式の問題。

基本的に誘導がつくので、解き方は知らなくても誘導にのって解ければよいです。

事前に知識として解き方を知っておいてもよいレベルの内容です。

漸化式全般において、誘導で何をさせようとしているのかが分かるのとなんとなく解けるのでは違います。

余裕があれば、「連立漸化式」を知識として身に着けておくとよいです。

今回の問題は、(1)では、与えられた２式を足し、aで調整することで、等比型の漸化式に帰着させています。

(2)では、(1)のようにすると上手くいくのではないかと考え、与えられた２式を引き、bで調整することで、等比型の漸化式に帰着させることができます。

一般的には、「足す」や「引く」だけでは、等比型の漸化式にはならないので「連立漸化式」を背景にした誘導がつきます。

第１１講

【３０番】

(a_n+1)^p=k(a_n)^q 型の漸化式は、両辺に対数をとることで上手くいきます。

後半、おきかえた新しい数列 {b_n}の漸化式が３項間漸化式となるので、特性方程式の２解を利用して、等比型の漸化式にもちこみます。

ある程度の大学では、ノーヒントで３項間漸化式を解かないといけないので、解法をマスターしておきましょう。

３項間漸化式

３項間漸化式の解答

【３１番】

メインは、後半の漸化式 c_n+1=2c_n-2n²+9nを解くところですが、誘導に従って処理をしていけば、自然と解けます。

初見でも10分以内には解き切りたい問題。

一応、問題の背景は特性方程式とその解を利用することで、等比型の漸化式に帰着できるというお話です。

（以下、興味がある人用）

a_n+1=pa_n+g(n)型の漸化式は、特性方程式f(n+1)=pf(n)+g(n) （入試問題の誘導では、b_n+1=pb_n+g(n)が特性方程式になっていることが多い!?）を利用して、等比型の漸化式にもちこむ。

g(n)によって、特性方程式の解 f(n)（or b_n）をどういうnの式でおくかを考えるが、今回の問題のように、誘導になっていることがほとんどなので、背景知識だけ知っておいて、もし出たときのための「心のゆとり」を得られるようにしておくとよい。

11月末までに、誘導なしの練習問題とその解答を用意しておきます。

慣れたら、a_n+1=pa_n+g(n)型の漸化式は、2分程度で解けるようになります。

ちなみに、最も出題されるのが、g(n)=3n+2のようなg(n)がnの1次式になっているタイプです。

g(n)=qⁿのような指数関数になっているときは、特性方程式を利用して、等比型に持ち込んでもよいが、一般的には、a_n+1=pa_n+qⁿの両辺をqⁿ⁺¹で割って「αとおくタイプにもちこむ」か、両辺をpⁿ⁺¹で割って「階差型にもちこむ」解法を使うのがいいと思います。

【３２番】

場合の数漸化式の問題。

場合の数・確率漸化式は次のパターンがあります。

１．一つ手前で場合分け （n回後の状況からn+1回目の状況を考える）

２．最初 or 最後の一手で場合分け

今回の問題は、条件1)を満たすタイルの塗り方のうち、両端が同じ色になる場合の数を考えるときに、最初の一手で場合分けを用います。

初めてこの問題を扱うには、少しレベルが高いです。

(3)は最終的に、a_n+1=pa_n+qⁿ型の漸化式を解くことになります。

この漸化式は両辺をqⁿ⁺¹で割ると上手くいきますが、ほとんどの人が大丈夫だと思います。

記述などで数学を使う人は55テキストの発展問題で、場合の数・確率漸化式の問題演習をしておきましょう。

演習のところで問題番号と該当ページを紹介しておきます。

第１２講

【３３番】

確率漸化式の問題。

今回の問題は、一つ手前で場合分け （n回後の状況からn+1回目の状況を考える）を利用します。

n回後の状況として、碁石がA₀にある(確率 P_n)場合とA₀にない(確率 1-P_n)場合があります。

少し難しく感じるかもしれないのが、A₀にない状態から、１回の移動でA₀に進む確率が1/2であることです。

A₁にある場合では奇数の目が出ればよいし、A₂にある場合では偶数の目が出ればよいので、A₁とA₂のどちらにあろうともA₀に進む確率は1/2です。

【３４番】

数学的帰納法の基本問題。

n=kのとき与えられた命題が成り立つと仮定して、その仮定を利用して、n=k+1のときの場合を示しますが、n=k+1のときの示したい目標に対して、仮定した条件をどのように使うかをしっかり考えましょう。

【３５番】

漸化式と帰納法の問題。

解けそうにない漸化式は、（具体化）→（予想）→（帰納法）です。

(1)は、具体化して予測するための誘導です。

一般に、漸化式と帰納法では、予測した一般項 a_nを示すときは以下を利用します。

今回の問題は、２項間漸化式なので、仮定したa_kから漸化式を利用してa_k+1を求め、n=k+1の場合が成り立つこと示します。

ポイントは、漸化式の本質となる「前の項から次の項が求まる」というところです。

【３６番】

一昨日帰納法(二段仮定)の問題。

最初から、一昨日帰納法を利用するとは気づかないと思います。

n=kのとき、与えられた命題が成り立つと仮定し、その仮定を利用して、n=k+1のときを示そうとして式変形をすると、１つ前だけではなく、２つ前も必要であることが分かります。

復習

問題を難易度や解きやすさでA , B , C , Dの評価をつけておきました。

扱った問題は全部復習して欲しいですが、どうしても数学が苦手な人は、A , Bを重点的に復習しましょう。

あくまで個人的な感覚なので、ランク付けは参考程度にして下さい。

A：解けないといけない問題

B：合格者なら正解する人が多いと思われる問題

C：解けるとアドバンテージが大きく得られる問題

D：解ける人が少なくあまり差がつかないであろう問題

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A：１番、６番、８番、１０番、２７番、２８番、３１番、３３番、３４番、３５番

B：３番、４番、９番、１１番、１２番、１３番、１５番、１６番、１７番、１９番、２０番、２１番、２２番、２３番、２４番、２５番、２６番、２９番、３０番、３６番

C：２番、５番、７番、１４番、１８番、３２番

D：特に該当する問題はないが、強いて言うなら、５番の(2)と３２番の(2)は、ほとんどの受験生はできないと思われます。