第1講

要点チェック

【1-1】

三角関数の周期の公式は覚えておく

・周期や平行移動に注意して、三角関数のグラフを描けるようにする

・(3)は(2)のグラフを利用しない方法でも求めれるようにしておくとよい

【1-2】

・2倍角や半角の公式をスムーズに使えるようにする

・αは第2象限としか書かれていないので、αを一般角で考えて、α/2 を評価するというところに注意

【1-3】

・(1)は、3θ=2θ+θという和で分解するところがポイント

授業でゴロを紹介しましたが、3倍角の公式は覚えておいて損はないです。

・(2)は、θ=18°のとき、5θ=90°であることを知識としておくこと。θ=36 , 72°も類似のものとして知っておくとよい。

sin(90°-θ)などの角度の変換公式がスムーズに使えるようにする。

第2講

要点チェック

【2-1】

sinθcosθを含む2次の三角関数2次同次式でない(asinθ+bcosθを含む)パターン問題と認識し、asinθ+bcosθ=t とおいて、t の2次関数の最大最小に帰着させる

【2-2】

sinθcosθを含む2次の三角関数の2次同次式であるパターン問題と認識し、半角の公式で次数を下げてsinで合成(半角合成)

第3講

要点チェック

【2-3】

(1) 和積の公式をスムーズに導けるようにしましょう。

(2)は恒等式になるように、αとβを定めますが、整式ではないので、数値代入法がオススメ。

数値代入法で求めたαとβの値は必要条件なので、与式が任意のxで成り立つという十分性の確認の記述をすること。

この問題では係数比較的な方法もできます。

2-3(2)の別解 ←和積の公式とsinxの周期についての知識が必要。

【3-1】

(1) 両辺の対数の底を2にそろえると、真数が等しいことが等式が成り立つ条件になる。

(2) (1)を用いて、指数の底をaあるいはbにすれば、2次方程式型になるが、axの2次方程式にする方がラク。

定数項である -b2m-1を積の形にするときに指数法則がしっかり身についてないと、因数分解するのにもたついてしまう。

【3-2】

真数条件と底の場合分けに注意。

第4講

桁数と最高位の数

要点チェック

【3-3】

桁数と最高位の数の求め方の仕組みをしっかり理解できしましょう。

10の累乗の形(10pの形)にすると、指数部分(pの値)の「整数部分で桁数、小数部分で最高位の数」が求まる。

【4-1】

微分係数の定義や導関数の定義は、グラフとともに覚えておくとよい

仕組みとしては、2点の傾きを求めて、x の増加量を0 にする(このとき、y の増加量も0となる)と、1点での傾き(接線の傾き)になる

【4-2】

(1)について、関数の接線なので、接点を設定する。

点(a , b)を通る接線問題はスムーズに解答が書けるように!!(微分の定番問題)

(2) PQの長さを t で表したら、文字の逆数の和の形が現れるので、相加・相乗を利用





第5講

要点チェック

【4-1】

(1) f'(1)=0 で求めた条件では、x=1で極大値をとるとは限らないので、十分性の確認の記述をきちんとしましょう。

(2) f(x)がn 次関数のとき、極値をもつための必要十分条件は、g'(x)の符号変化が起こること

3 次関数とは書いていないので、最高次の係数が0か否かで場合分けがいる。

配布物:3次関数が極値をもつための条件

【5-1】

f(x)は x=aで極大値をとるが、定義域の右端の1 が a より大きいとき、f(a)または f(1)が最大値である。

この2つの値の大小が切り替わるときのaの値をどう求めるかが重要。

授業で紹介した2つの解法はどちらも重要です。

授業では扱わなかった解答を置いておきます。

5-1の別解

【5-2】

体積Vは元々、xとhの2変数であるが、(1)の誘導で x だけの1変数になる。

xとhは従属の関係なので、隠れた文字の変域に注意する。

S①の第2講の2-2の2変数関数の最大・最小と同じテーマ。

最大値をとる xの値が求まったら、x:hの比を求めるときに、すぐに代入しないことがポイント。


第6講

要点チェック

【5-3】

(1)について、 3次関数 f(x)の極値は、導関数 f'(x)を用いて次数下げして計算ができる

(2)について、(実数解の個数)=(共有点の個数)は、方程式の解の個数問題では常識。

(1)で求めた極大値と極小値の絶対値の大きさによって、折り返しときの山の高さが異なることに注意しましょう。今回は、|極大値| < |極小値| より、極小値をとる谷の部分をx軸に関して折り返したら、その山の高さは、極大値をとる山の高さより大きくなるところがポイント。

【6-1】

定積分で表される関数(積分方程式)は 「① 定数型 ② 変数型」があり、それぞれの対処の仕方をしっかり身に着けておこう。

以下、少し発展的な内容なので、気になる人は読んでください。

微積分学の基本定理を利用するときは、与えられた定積分の式の両辺をxで微分するが、このとき、同値性を保つために微分する前の式のxに適当な値を代入しなければならない。

x の適当な値として、一番都合の良い値は、(上端)=(下端)となる値です。

同値性を保ちながら、未知数が求まったり、欲しい値がゲットできたりするからです。

詳しく理解したい人は、「f'(x)=g'(x) ⇒ f(x)=g(x) は成り立つか」を読んでみてください。

【6-2】

(1)について、絶対値を含む関数の定積分はグラフを利用して絶対値をはずすとよい。

原始関数の1つを F(t)とおいておくと、少し記述や計算がラクになる。

(2)について、(1)の場合分けにおいて、3次関数のところだけを増減表にしてもいいが、全部の場合分けした関数の増減を一つの増減表にまとめることもできる。

第7講

【配布物】1/6 公式の導出定積分と面積

要点チェック

【6-3】

(2)のS2を計算するときは、被積分関数(積分される関数)を平方完成して、括弧のまま、塊で積分すると計算が楽になる。

6-3の解答

【7-1】

放物線と直線が2交点で交わり、囲まれる図形の面積は1/6公式で計算ができる。このとき、2交点のx座標が解の公式で煩雑になるときは、解と係数の関係で処理するか、その座標を判別式Dを用いて表すかがよい。

どちらの処理も理解しておくとよい。

答えとなるmが図形的に1つしかないように思えるが、x<0の範囲で2交点で交わる図形が描けて、答えとなるmは2つある。

答えが出たときにすぐに答えにするのではなく、答えの吟味をして、ちゃんと確認できるという能力も重要。

【7-2】

面積S1は1/6公式で計算すること。

S1-S2をkの関数で表したとき、括弧のまま、塊で微分すると計算がラクになる。

括弧のまま、塊で微分や積分ができるのは、括弧内が1次式で1次の項の係数が1のときに限る。

(もちろん、塊を t などの文字でおきかえてもよい。おきかえたら、おきかえた文字の変域に注意すること)

【7-3】

有名問題であり、いわゆる1/12公式の導出問題。結果は別に覚えなくてよい。

誘導が一切ないところが少し難しいが、復習してしっかり身に着けて欲しい問題。

放物線と直線が接し、x=kで囲まれる図形の面積は、a∫(x-γ)2dxの形(被積分関数が1次式の2乗の形)になるので、括弧のまま、塊で積分して計算する。

第8講

配布物:数列の和の問題

要点チェック

【8-1】

(1) 等比数列の和の公式を使うときは、分母が0にならないような文字の条件で場合分けがいる。

和の立式を書き並べる形で書けば、場合分けは不要である。

(2) 等差中項と等比中項で成り立つ関係式を利用するとラク。

【8-2】

数列の和の問題はパターンがあるので、一般項で判断できるようにしておくこと。

(1)について、Σ(kの2次式)なので、Σ公式で計算。

(2)について、Σ1/(kの2次式)なので、部分分数分解で差の形にして、パタパタ法。

(3)について、(等差)×(等比)の和なので、S-rS法。

数列の和と漸化式 を参照。

【8-3】まだ、解説していません。

階差数列の定義と階差数列を利用して、数列の一般項を求める公式の成り立ちをしっかり理解しておくこと。「n≧2」と「n=1」ときの記述を忘れないように。