S② 補足＆配布物＆伝言
第１講
要点チェック
【1-1】
・三角関数の周期の公式は覚えておく
・周期や平行移動に注意して、三角関数のグラフを描けるようにする
・(3)は(2)のグラフを利用しない方法でも求めれるようにしておくとよい
【1-2】
・２倍角や半角の公式をスムーズに使えるようにする
・αは第２象限としか書かれていないので、αを一般角で考えて、α/2 を評価するというところに注意
【1-3】
・(1)は、3θ＝2θ+θという和で分解するところがポイント
授業でゴロを紹介しましたが、３倍角の公式は覚えておいて損はないです。
・(2)は、θ=18°のとき、5θ＝90°であることを知識としておくこと。θ=36 , 72°も類似のものとして知っておくとよい。
sin(90°-θ)などの角度の変換公式がスムーズに使えるようにする。
第２講
要点チェック
【2-1】
sinθcosθを含む２次の三角関数２次同次式でない(asinθ＋bcosθを含む）パターン問題と認識し、asinθ＋bcosθ=t とおいて、t の２次関数の最大最小に帰着させる
【2-2】
sinθcosθを含む２次の三角関数の２次同次式であるパターン問題と認識し、半角の公式で次数を下げてsinで合成（半角合成）
第３講
要点チェック
【2-3】
(1) 和積の公式をスムーズに導けるようにしましょう。
(2)は恒等式になるように、αとβを定めますが、整式ではないので、数値代入法がオススメ。
数値代入法で求めたαとβの値は必要条件なので、与式が任意のxで成り立つという十分性の確認の記述をすること。
この問題では係数比較的な方法もできます。
2-3(2)の別解 ←和積の公式とsinxの周期についての知識が必要。
【3-1】
(1) 両辺の対数の底を２にそろえると、真数が等しいことが等式が成り立つ条件になる。
(2) (1)を用いて、指数の底をaあるいはbにすれば、２次方程式型になるが、axの2次方程式にする方がラク。
定数項である -b2m-1を積の形にするときに指数法則がしっかり身についてないと、因数分解するのにもたついてしまう。
【3-2】
真数条件と底の場合分けに注意。
第４講
要点チェック
【3-3】
桁数と最高位の数の求め方の仕組みをしっかり理解できしましょう。
10の累乗の形（10pの形）にすると、指数部分(pの値)の「整数部分で桁数、小数部分で最高位の数」が求まる。
【4-1】
微分係数の定義や導関数の定義は、グラフとともに覚えておくとよい
仕組みとしては、2点の傾きを求めて、x の増加量を0 にする(このとき、y の増加量も0となる)と、１点での傾き（接線の傾き）になる
【4-2】
(1)について、関数の接線なので、接点を設定する。
点(a , b)を通る接線問題はスムーズに解答が書けるように!!（微分の定番問題）
(2) PQの長さを t で表したら、文字の逆数の和の形が現れるので、相加・相乗を利用。
第５講
要点チェック
【4-1】
(1) f'(1)=0 で求めた条件では、x=1で極大値をとるとは限らないので、十分性の確認の記述をきちんとしましょう。
(2) f(x)がn 次関数のとき、極値をもつための必要十分条件は、g'(x)の符号変化が起こること。
3 次関数とは書いていないので、最高次の係数が0か否かで場合分けがいる。
配布物：３次関数が極値をもつための条件
【5-1】
f(x)は x=aで極大値をとるが、定義域の右端の1 が a より大きいとき、f(a)または f(1)が最大値である。
この２つの値の大小が切り替わるときのaの値をどう求めるかが重要。
授業で紹介した２つの解法はどちらも重要です。
授業では扱わなかった解答を置いておきます。
【5-2】
体積Vは元々、xとhの２変数であるが、(1)の誘導で x だけの１変数になる。
xとhは従属の関係なので、隠れた文字の変域に注意する。
S①の第２講の2-2の２変数関数の最大・最小と同じテーマ。
最大値をとる xの値が求まったら、x：hの比を求めるときに、すぐに代入しないことがポイント。
第６講
要点チェック
【5-3】
(1)について、 ３次関数 f(x)の極値は、導関数 f'(x)を用いて次数下げして計算ができる。
(2)について、(実数解の個数)＝(共有点の個数)は、方程式の解の個数問題では常識。
(1)で求めた極大値と極小値の絶対値の大きさによって、折り返しときの山の高さが異なることに注意しましょう。今回は、|極大値| < |極小値| より、極小値をとる谷の部分をx軸に関して折り返したら、その山の高さは、極大値をとる山の高さより大きくなるところがポイント。
【6-1】
定積分で表される関数(積分方程式)は 「① 定数型 ② 変数型」があり、それぞれの対処の仕方をしっかり身に着けておこう。
以下、少し発展的な内容なので、気になる人は読んでください。
微積分学の基本定理を利用するときは、与えられた定積分の式の両辺をxで微分するが、このとき、同値性を保つために微分する前の式のxに適当な値を代入しなければならない。
x の適当な値として、一番都合の良い値は、(上端)=(下端)となる値です。
同値性を保ちながら、未知数が求まったり、欲しい値がゲットできたりするからです。
詳しく理解したい人は、「f'(x)=g'(x) ⇒ f(x)=g(x) は成り立つか」を読んでみてください。
【6-2】
(1)について、絶対値を含む関数の定積分はグラフを利用して絶対値をはずすとよい。
原始関数の１つを F(t)とおいておくと、少し記述や計算がラクになる。
(2)について、(1)の場合分けにおいて、３次関数のところだけを増減表にしてもいいが、全部の場合分けした関数の増減を一つの増減表にまとめることもできる。
第７講
要点チェック
【6-3】
(2)のS2を計算するときは、被積分関数（積分される関数）を平方完成して、括弧のまま、塊で積分すると計算が楽になる。
【7-1】
放物線と直線が２交点で交わり、囲まれる図形の面積は1/6公式で計算ができる。このとき、２交点のx座標が解の公式で煩雑になるときは、解と係数の関係で処理するか、その座標を判別式Dを用いて表すかがよい。
どちらの処理も理解しておくとよい。
答えとなるmが図形的に１つしかないように思えるが、x<0の範囲で２交点で交わる図形が描けて、答えとなるmは２つある。
答えが出たときにすぐに答えにするのではなく、答えの吟味をして、ちゃんと確認できるという能力も重要。
【7-2】
面積S1は1/6公式で計算すること。
S1-S2をkの関数で表したとき、括弧のまま、塊で微分すると計算がラクになる。
括弧のまま、塊で微分や積分ができるのは、括弧内が１次式で１次の項の係数が１のときに限る。
（もちろん、塊を t などの文字でおきかえてもよい。おきかえたら、おきかえた文字の変域に注意すること）
【7-3】
有名問題であり、いわゆる1/12公式の導出問題。結果は別に覚えなくてよい。
誘導が一切ないところが少し難しいが、復習してしっかり身に着けて欲しい問題。
放物線と直線が接し、x=kで囲まれる図形の面積は、a∫(x-γ)2dxの形（被積分関数が１次式の２乗の形）になるので、括弧のまま、塊で積分して計算する。
第８講
配布物：数列の和の問題
要点チェック
【8-1】
(1) 等比数列の和の公式を使うときは、分母が0にならないような文字の条件で場合分けがいる。
和の立式を書き並べる形で書けば、場合分けは不要である。
(2) 等差中項と等比中項で成り立つ関係式を利用するとラク。
【8-2】
数列の和の問題はパターンがあるので、一般項で判断できるようにしておくこと。
(1)について、Σ(kの2次式)なので、Σ公式で計算。
(2)について、Σ1/(ｋの2次式)なので、部分分数分解で差の形にして、パタパタ法。
(3)について、(等差)×(等比)の和なので、S-rS法。
数列の和と漸化式 を参照。
【8-3】まだ、解説していません。
階差数列の定義と階差数列を利用して、数列の一般項を求める公式の成り立ちをしっかり理解しておくこと。「n≧2」と「n=1」ときの記述を忘れないように。
第９講
配布物：３項間漸化式
要点チェック
【9-1】
和Snから一般項anを求めるパターン問題。
Snに限らず、数列の和を含む等式では、「1個増やして引く」or「１個減らして引く」が有効（末項だけ残るため）。
一般的に、和を利用して、一般項を求めるときは「n≧2」と「n=1」を分けて求めるが、今回の問題の(2)では、(1)の結果を利用するので、「n≧3」と「n=2」と「n=１」で分けて、一般項anを求めなければならない。
n=2を別として場合分けする理由は、n=2のときは、a2=S2-S1でa2が求まるが、利用するSnがn=2とn=1の場合で異なるためである。
５月に実施された、進研の共テマーク模試でこの問題と似たような内容が出題されていたと思うので、しっかり復習をしておきましょう。
【9-2】
群数列は、第n群の最後の数が初項から数えて第何項目であるかが重要である。
（授業では、群隊長の背番号と呼んでいます(笑)）
各群に含まれる数の項数を利用すれば、群の最後の数が第何項か(背番号)がΣ計算(or和の公式)で求まる。
慣れたら、典型的な群数列の問題はお買い得問題になるので、自信がつくまで、持っている問題集で演習しましょう。
【9-3】
漸化式はまず基本形がしっかり身についていることが大事（数列の和と漸化式 を参照）。
３項間漸化式は誘導がつくことが多いが、誘導がなくても解けるようにしておけば安心である。
第10講
要点チェック
【10-1】
誘導付き(おきかえの式付き)の漸化式の問題。(2)では、階差型の漸化式で一般項を求めることになるが、階差数列が等比数列になっているので、公比が１であるか１でないかで場合分けをして、和の公式を利用する。
【10-2】
「具体化→予想→帰納法」という流れが重要。
漸化式と帰納法では、n=kのときに仮定したakから、次の項のak+1を求めるときは、漸化式を利用する。
【10-3】
nではなく、Nについての不等式であることに注意する。
N=mで仮定した不等式をどう使うかは、書き方によって異なる。
てんてーの書き方は、N=m+1のときの不等式の両辺の差をとってスタートして、途中に仮定した不等式を使う
という流れ。
１学期を終えて
１学期の授業、お疲れ様でした。
いろんな問題を扱いましたが、数学は経験していないと解くことが難しい問題やパターン的にサッサと処理するような問題があります。
１学期のテキストにはこういう問題ばかり入っていたので、しっかり復習して、次に似たような問題に出会ったときには、同じような解法や考え方で戦えるように、反復して身に着けておきましょう。
数学は問題によってはいろんな解法が考えれらることがあり、解き方によっては素早く解けることもあれば、アプローチ次第では遠回りして計算が煩雑になることもあります。
まずは、自分が思いついた解法を大事にしましょう。
もし、解答を見たときに自分と違う解き方をしていたら、その解法もしっかり学びましょう。
解答はあくまで、解答例の１つなので絶対ではありません。
いろんな知識を身に着け、いろんな問題を経験することで数学力が付いていきます。
夏のうちに絶対やっておいて欲しいことは、２学期が始まるまでにしっかり１学期のテキストの問題をやりこむこと。
７月、８月の２ヶ月間たっぷり時間があるので、もし、苦手単元があれば、自分が持っている問題集や５５テキストでその単元の強化をして自信をつけましょう。
